Нe приходит подтверждение регистрации на указанный e-mail

Загляните в папку Спам. Некоторые почтовые сервисы ошибочно кидают туда письма с подобного рода содержанием. Не забудьте поставить флажок "не спам", чтобы и в дальнейшем к вам приходили письма от uCoz. Мы делаем все возможное, чтобы наши письма не оказывались в спаме.

Для пользователей фаервола Outpost (ошибка "Access denied")

По умолчанию включена опция блокировать Referrers.
Данная опция не позволяет зарегистрироваться в системе uCoz и после заполнения поля "Адрес сайта (логин)" выдает "Access denied!".
Данную настройку следует сменить, по крайней мере на момент регистрации.

В целом, рекомендую рекомендую в принципе отключить контроль данного компонента. Он никак не влияет на безопасность, исключительно не дает сайт узнавать то, с каких адресов вы к ним перешли, то есть собирать статистику общего, а не персонализированного характера. При этом, может привести к ошибкам и недоступности тех или иных действий не только у нас на юкозе, но и на целом ряде других ресурсов. В частности при скачивании файлов.

• Как отключить?

В трее (там где часы) нажимаем правой кнопкой мыши на значок outposta, и там нажимаем Настроить (либо любым другим образом попадаем в настройки. В Настройках нажимаем на Веб-контроль, там нажимаем "Настройка..." Там выбираем пункт Referrers и выбираем пункт Разрешать
После этого нажимаем Ок и затем в следующем окне Применить

Если вы не являетесь пользователем фаервола Outpost, но ошибка "Access denied" всё равно возникает

Что-то не так с настройками вашего браузера. Наиболее частое связано с тем, что ваш браузер не передает реферер.
Можно попробовать использовать другой браузер, если не получилось в одном, то, возможно в другом настройки у вас более корректные.

Если Браузер Opera то:
Настройки -> Дополнительно -> Сеть
"Включить указание источника перехода".

Неправильный код безопасности, хотя всё верно

Если вы заполняли форму регистрации более 15 минут (куда-то отходили в процессе), то код безопасности уже не будет воспринят корректно. Нужно начинать все с начала (обновить картинку).

Видео урок: http://showmehow.ru/blog/2008-06-24-3

При регистрации выдаёт что домен занят, хотя на самом деле он свободен

Обычно после удаления сайта 10 суток можно обжаловать приговор робота.

Как мне зарегистрировать сайт на определённом сервере?

Никак. Сервер не выбирается, он автоматически присваивается системой. Вы можете приобрести или получить сайт на определённом сервере, оставив объявление в соответствующей теме.

При регистрации сайта ошибся, указав URL сайта. Можно ли сменить site1.ucoz.ru на site2.ucoz.ru?

Сменить домен со стандартного на стандартный невозможно. Однако вы можете зарегистрировать себе домен site2.ru и прикрепить его к сайту site1.ucoz.ru. При этом ваш сайт будет доступен по адресу site2.ru.